Непредикативность (математика)
Непредикати́вность определения в математике и логике, нестрого говоря, означает, что осмысленность определения предполагает наличие определяемого объекта[1]. Пример: объект определяется как такой элемент некоторого множества, который удовлетворяет определённому отношению между ним и всеми элементами этого множества (включая и само )[2]. В некоторых случаях непредикативное определение может привести к недоразумениям или даже противоречиям. Противоположное по смыслу понятие — предикативность.
Для определений на формальном языке «Математическая энциклопедия» приводит более строгий вариант:
|
Свойство (точнее, языковое выражение, выражающее это свойство) называется непредикативным, если оно содержит связанную переменную, в область изменения которой попадает определяемый объект. Свойство называется предикативным, если оно не содержит таких связанных переменных. |
Не существует общепризнанного чёткого определения непредикативности, различные источники дают сходные, но разные определения. Например, встречается такое: определение объекта X непредикативно, если оно либо ссылается на само X, либо (чаще всего) на множество , содержащее X; при этом представляется законченным, хотя данное определение может повлиять на его состав[3][4].
Примеры
[править | править код]Наиболее известный пример непредикативного построения — парадокс Рассела, в котором определяется совокупность всех множеств, не содержащих самих себя. Парадокс заключается в том, что так определённое множество внутренне противоречиво — оно одновременно и содержит себя, и не содержит. Наглядный исторический вариант этого парадокса — «парадокс брадобрея»: определение «житель деревни, который бреет тех жителей этой деревни, которые не бреются сами», является непредикативным, так как определяет жителя деревни, используя его отношения со всеми жителями деревни (а, значит, и с ним самим)[2]. Непредикативность обнаруживается и в других парадоксах теории множеств[3].
К непредикативным формулировкам часто относят и парадокс всемогущества: «Может ли Бог создать камень, который он сам не сможет поднять?» Здесь используется понятие «всемогущество», определение которого внутренне противоречиво[5]. Аналогично устроен «парадокс лжеца», в котором утверждение отрицает само себя.
В математике существует, однако, немалое количество часто используемых непредикативных определений, не создающих проблем и не имеющих простого предикативного варианта. В классическом анализе, например, таково определение точной нижней грани числового множества[6]:
|
Точной (наибольшей) нижней гранью подмножества упорядоченного множества называется наибольший элемент , который не превосходит всех элементов множества |
Другой пример общепринятого и вполне безопасного непредикативного определения в анализе — определение максимального значения функции на заданном интервале, поскольку определяемое значение зависит от всех прочих, включая самого себя[7].
Непредикативные конструкции использует доказательство знаменитой теоремы Гёделя о неполноте: построенная в итоге «неразрешимая формула» утверждает недоказуемость самой себя[8].
Наконец, в логике и информатике существуют рекурсивные определения и рекурсивные алгоритмы, в которых непредикативность изначально предусмотрена и является их неотъемлемой составной частью.
История
[править | править код]Термины «предикативный» и «непредикативный» были введены в статье Рассела (1907)[9], хотя смысл термина тогда был несколько иным. Как опасный порочный круг непредикативные определения осудил Анри Пуанкаре (1905—1906, 1908), он считал их главным источником парадоксов теории множеств. Рассел поддержал эту оценку и в своей монографии «Principia Mathematica» принял меры по недопущению непредикативности (теория типов и «аксиома сводимости»)[10][11]. Герман Вейль в своей книге «Das Kontinuum» изложил философскую позицию, которую часто называют «предикативизм»[12].
Эрнст Цермело в 1908 году выступил с возражениями против чрезмерно радикального подхода и привёл два примера вполне безобидных непредикативных определений, часто используемых в анализе. Герман Вейль попытался найти предикативный аналог определения наименьшей верхней грани, но успеха не добился. С тех пор никому так и не удалось построить анализ в полном объёме на строго предикативной основе[1][3].
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1982, с. 981.
- ↑ 1 2 Непредикати́вное определе́ние Архивная копия от 3 февраля 2018 на Wayback Machine // Большая Российская энциклопедия.
- ↑ 1 2 3 Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1957. — С. 44—46. — 526 с.
- ↑ Философский энциклопедический словарь, 1983, с. 433.
- ↑ Клайн М., 1984, с. 241.
- ↑ Клайн М., 1984, с. 241—242.
- ↑ Клайн М., 1984, с. 242.
- ↑ Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. — М.: Наука, 1982. — 110 с. — (Популярные лекции по математике).
- ↑ Russell, B. (1907), On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types. Proc. London Math. Soc., s2-4 (1): 29-53, doi:10.1112/plms/s2-4.1.29.
- ↑ Feferman, Solomon. Predicativity Архивная копия от 11 июня 2016 на Wayback Machine (2002)
- ↑ Willard V. Quine’s commentary before Bertrand Russell’s 1908 Mathematical logic as based on the theory of types
- ↑ Horsten, Leon. Philosophy of Mathematics (англ.). — Stanford Encyclopedia of Philosophy. Дата обращения: 15 ноября 2017. Архивировано 11 марта 2018 года.
Литература
[править | править код]- Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947.
- Гришин В. Н. Непредикативное определение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — 446 с.
- Непредикативное определение // Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1983. — 840 с.
- Френкель Α.- Α., Баρ-Xиллел И. Основания теории множеств. М., 1966.
- Чёрч Α. Введение в математическую логику. М., 1960.